Question

已知函數f（x）對一切x，y都有f（ab）=bf（a）+af（b）
（1）求f（0）；
（2）求證：f（x）是奇函數；
（3）若F（x）=af（x）+bx⁵+cx³+2x²+dx+3，已知F（-5）=7，求F（5）

Answer 1

解：（1）令a=b=0?f（0）=0f（0）+0f（0）=0?f（0）=0
（2）證明：令a=b=1?f（1）=0，令a=b=-1?f（1）=-2f（-1）?f（-1）=0
令b=-1?f（-a）=-f（a）+af（-1）=-f（a）?f（-x）=-f（x）
所以f（x）是奇函數；
（3）∵f（x）是奇函數，
∴F（x）-3-2x²=af（x）+bx⁵+cx³+dx也為奇函數，
∴F（-5）-3-2×（-5）²=-[F（5）-3-2×5²]又因為F（-5）=7，
∴F（5）=-F（-5）+106=99，
即：F（5）=99．
分析：（1）用賦值法f（-1）
（2）用賦值法求f（1），f（-1），再對b賦值-1，就可得到關于f（-x）與f（x）的關系式．
（3）利用f（x）是奇函數可得F（x）-3-2x²也為奇函數，再利用奇函數的圖象關于原點對稱即可求F（5）．
點評：本題考查抽象函數的奇偶性及特殊值點，抽象函數是相對于給出具體解析式的函數來說的，它雖然沒有具體的表達式，但是有一定的對應法則，滿足一定的性質，這種對應法則及函數的相應的性質是解決問題的關鍵．抽象函數的抽象性賦予它豐富的內涵和多變的思維價值，可以考查類比猜測，合情推理的探究能力和創新精神．