Question

【題目】如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知底面ABCD的邊長AB＝3，側棱AA1＝2，E是棱CC1的中點，點F滿足 ＝2.

（1）求異面直線FE和DB1所成角的余弦值；

（2）記二面角E-B1F-A的大小為θ，求|cosθ|.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】

（1）先根據題意建立空間直角坐標系，求得向量和向量的坐標，再利用線線角的向量方法求解.

（2）先求得平面B1FE的一個法向量，易知平面AB1F的一個法向量，再利用面面角的向量方法求解.

（1） 在正四棱柱ABCDA1-B1C1D1中，

以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz.

因為AB＝3，AA1＝2，

E是CC1的中點， ＝2，

所以E(0，3，1)，F(3，2，0)，B1(3，3，2).

從而＝(－3，1，1)，＝(3，3，2)．

設異面直線FE和DB1所成的角為α，

則cosα＝|cos〈，〉|＝＝＝.

因此，異面直線FE和DB1所成角的余弦值為.

（2）設平面B1FE的法向量為＝(x,y,)．

因為＝(－3，1，1)，＝(0，1，2)，

由得所以

取z＝－3，則平面B1FE的一個法向量為＝(1，6，－3)．

又因為平面AB1F的一個法向量為＝(1，0，0)，

所以cos〈，〉＝＝.

因此cosθ|＝| cos〈，〉|＝.