Question

如圖，已知PA是⊙O的切線，A是切點，直線PO交⊙O于B、C兩點，D是OC的中點，連接AD并延長交⊙O于點E．若，∠APB=30°，則AE=    ．

Answer 1

【答案】分析：連接OA，由AP為圓的切線，得到∠PAO=90°，過A作AM垂直于AC，過O作OF垂直于AE，根據垂徑定理得到F為AE的中點，在直角三角形APO中，由AP的長及∠APO的度數，利用正切函數定義及特殊角的三角函數值求出半徑OA的長，由D為OC的中點，可求出OD的長，同時得到∠AOD的度數，在三角形AOD中，根據余弦定理求出AD的長，再由OD及邊上的高AM求出三角形AOD的面積，此三角形的面積還可以用AD及邊上的高OF表示，進而求出OF的長，在直角三角形AOF中，由OA和OF的長，利用勾股定理求出AF的長，進而求出AE的長．
解答：解：連接OA，過O作OF⊥AE，過A作AM⊥PC，如圖所示，
∵PA為圓O的切線，
∴∠PAO=90°，又PA=2，∠APB=30°，∴∠AOD=120°，
∴OA=PAtan30°=2×=2，又D為OC中點，故OD=1，
根據余弦定理得：AD²=OA²+OD²-2OA•ODcos∠AOD=4+1+2=7，解得：AD=，
∵在Rt△APM中，∠APM=30°，且AP=2，
∴AM=AP=，
故三角形AOD的面積S=OD•AM=，則S=AD•OF=OF=，
∴OF=，
在Rt△AOF中，根據勾股定理得：AF==，
則AE=2AF=．
故答案為：
點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有銳角三角函數，勾股定理，直角三角形的性質，以及垂徑定理，利用了數形結合的思想，直線與圓相切時，常常連接圓心與切點，構造直角三角形解決問題，直線與圓相交時，常常由弦心距，弦的一半及圓的半徑構造直角三角形解決問題，學生做此類題應注意輔助線的作法．