Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知PA是⊙O的切線，A是切點，直線PO交⊙O于B、C兩點，D是OC的中點，連接AD并延長交⊙O于點E，若PA=2

3

，∠APB=30°．
（Ⅰ）求∠AEC的大小；
（Ⅱ）求AE的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先連接AB，根據切線的性質以及已知條件得到：∠AOB=60°；再結合OA=OB以及∠ABC=∠AEC即可得到結論；
（Ⅱ）分兩段，先根據直角三角形中的有關性質求出AD，再結合相交弦定理求出DE，二者相加即可．

解答：解：（Ⅰ）連接AB，因為：∠APO=30°，且PA是⊙O的切線，
所以：∠AOB=60°；
∵OA=OB
∴∠AB0=60°；
∵∠ABC=∠AEC
∴∠AEC=60°．
（Ⅱ）由條件知AO=2，過A作AH⊥BC于H，則AH=

3

，
在RT△AHD中，HD=2，∴AD=

3+22

=

7

．
∵BD•DC=AD•DE，
∴DE=

3 7

7

．
∴AE=DE+AD=

10 7

7

．

點評：本題主要考察與圓有關的比例線段，其中涉及到相交弦定理，同弧所對的圓周角相等以及弦切角等知識，是對知識的綜合考察，屬于中檔題目．