Question

下列函數中，最小正周期是π的函數是（　　）

• A．f（x）=sinx+cosx
• B．f(x)=|tan

  x

  2

  |
• C．f（x）=|sin2x|
• D．f(x)=sin(x+

  π

  3

  )cosx

Answer 1

分析：判斷這四個函數的最小正周期，需要逐一分析．A、D選項用三角函數對應的公式化為y=Asin（ωx+φ）（ω＞0）的形式．C與B選項用函數的圖象的性質，求出四個函數的周期，得到結果．

解答：解：對于A，f（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），其最小正周期T=2π；
對于B，f（x）=f(x)=|tan

x

2

|，先去掉絕對值，利用正切的周期公式得到f（x）=tan

x

2

，其最小正周期T=2π；
加上絕對值后周期仍然是2π；
對于C，y=|sin2x|，y=sin2x的周期是π，加上絕對值以后周期為

π

2

對于D，f(x)=sin(x+

π

3

)cosx=（

1

2

sinx+

3

2

cosx）cosx=

1

2

sin2x+

3

2

×

cos2x+1

2

=

1

4

sin2x+

3

4

cos2x+

3

4

=

1

2

sin（2x+

π

3

）+

π

4

，
∴函數的周期是T=

2π

2

=π
綜上可知只有D選項的函數的周期是π
故選D．

點評：本題考查三角函數最小正周期的求法．根據三角函數的周期性可知正弦、余弦型最小正周期為T=

2π

ω

，正切型最小正周期為T=

π

ω

，初次之外可以用圖象法，定義法，公倍數法，對于具體問題得具體分析．求三角函數的周期，要注意函數的三角變換，得到可以利用三角函數的周期公式來求解的形式，本題是一個中檔題目．