Question

（2012•安徽模擬）已知矩形ABCD中，AB=3，AD=2，點(diǎn)E在CD上且CE=1（如圖（1））．把△DAE沿AE向上折起到D'AE的位置，使二面角D'-AE-B的大小為120°（如圖（2））．
（Ⅰ）求四棱錐D'-ABCE的體積；
（Ⅱ）求CD'與平面ABCE所成角的正切值；
（Ⅲ）設(shè)M為CD'的中點(diǎn)，是否存在棱AB上的點(diǎn)N，使MN∥平面D'AE？若存在，試求出N點(diǎn)位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AE的中點(diǎn)P，連接DP，得出∠D′PD為二面角D'-AE-B平面角的補(bǔ)角，繼而△DD′P為等邊三角形，D′在平面ABCD內(nèi)的射影H為PD的中點(diǎn)，D′H為D'-ABCE的高．
（Ⅱ）由（Ⅰ），∠D′CH為CD'與平面ABCE所成角．在RT△D′CH求解．
（Ⅲ）取CE的中點(diǎn)F，在平面ABCE內(nèi)過F作FN∥AE交AB于N，點(diǎn)N為所求．

解答：解：（Ⅰ）取AE的中點(diǎn)P，連接DP，D′P，由DA=DE，D′A=D′E⇒DP⊥AE，D′P⊥AE故∠D′PD=60°⇒△DD′P為等邊三角形，D′在平面ABCD內(nèi)的射影H為PD的中點(diǎn)DP=

2

⇒D/H=

6

2

，又SABCE=4⇒VD/-ABCE=

2 6

3

（4分）
（Ⅱ）在三角形CDH中，由DH=

2

2

，CD=3，∠CDH=450由余弦定理可得CH=

26

2

⇒tan∠D/CH=

6 2

26 2

=

39

13

（8分）
（Ⅲ）存在棱AB上的點(diǎn)N，使MN∥平面D'AE．
取CE的中點(diǎn)F，則MF∥D′E，在平面ABCE內(nèi)過F作FN∥AE交AB于N，
MF∩NF=F，D′E∩AE=E則平面MFN∥平面D′AE
又MN在平面MFN內(nèi)，故MN∥平面D′AE
此時(shí)AN=EF=

1

2

CE=

1

2

，故存在N使MN∥平面D′AE（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角的度量、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．