Question

已知函數f（x）=ax+

a-1

x

+（1-2a）（a＞0）
（1）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（2）證明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥ln（n+1）+

n

2(n+1)

（n≥1）；
（3）已知S=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2014

，求S的整數部分．（ln2014≈7.6079，ln2015≈7.6084）

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：（1）利用f（x）≥lnx，構造g（x）=f（x）-lnx，問題轉化為g（x）=f（x）-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，利用導數求出函數在[1，+∞）上的最小值大于0，求a的取值范圍；
（2）由（1）可知a≥

1

2

時，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，則當a=

1

2

時，

1

2

（x-

1

x

）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，對不等式的左側每一項裂項，然后求和，即可推出要證結論；
（3）運用（2）的結論和S=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2014

＜1+

1

2

×2+

1

4

×4+…+

1

28

×2⁸=9，即可得到整數部分．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=ax+

a-1

x

+（1-2a），
f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，
設g（x）=f（x）-lnx，則g（x）=f（x）-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴g（x）_min≥0，
又∵g′（x）=a-

a-1

x2

-

1

x

=

a(x-1)(x- 1-a a )

x2

，
而當

1-a

a

=1，即a=

1

2

時，
①當

1-a

a

≤1即a≥

1

2

時，
g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴g（x）min=g（1）=2a-1≥0即a≥

1

2

；
②當

1-a

a

＞1即0＜a＜

1

2

時，
g′（x）=0時x=

1-a

a

；
且1≤x＜

1-a

a

時，g′（x）＜0，
當x＞

1-a

a

時，g′（x）＞0；
則g（x）min=g（

1-a

a

）≥0①，
又∵g（

1-a

a

）≤g（1）=2a-1＜0與①矛盾，不符題意，故舍．
∴綜上所述，a的取值范圍為：[

1

2

，+∞）．

（2）證明：由（1）可知a≥

1

2

時，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，
則當a=

1

2

時，

1

2

（x-

1

x

）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，
令x依次取

2

1

，

3

2

，

4

3

，…，

n+1

n

時，
則有

1

2

×（

2

1

-

1

2

）≥ln

2

1

，

1

2

×（

3

2

-

2

3

）≥ln

3

2

，
…

1

2

×（

n+1

n

-

n

n+1

）≥ln

n+1

n

，
由同向不等式可加性可得

1

2

[（

2

1

+

3

2

+

4

3

+…+

n+1

n

）-（

1

2

+

2

3

+

3

4

+…+

n

n+1

）]≥ln（n+1），
即

1

2

[（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

+n）-（n-

1

2

-

1

3

-

1

4

-…-

1

n+1

）]≥ln（n+1），
也即

1

2

[2（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）+

1

n+1

-1]≥ln（n+1），
也即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln（n+1）+

n

2(n+1)

（n≥1）．

（3）由（2）的結論，可得，S=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2014

≥ln2015+

2014

2×2015

∈（8，9），
又S=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2014

＞

∫

2014 1

1

x

dx=lnx|

2014 1

=ln2014≈7.6，
則有S的整數部分為9．

點評：本題是難題，考查函數與導數的關系，曲線切線的斜率，恒成立問題的應用，累加法與裂項法的應用，數學歸納法的應用等知識，知識綜合能力強，方法多，思維量與運算量以及難度大，需要仔細審題解答，還考查分類討論思想．