Question

（2010•武漢模擬）如圖所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC的邊長(zhǎng)為2a，側(cè)棱AA₁=2a，M、N分別為AA₁、BC中點(diǎn)
（1）求證：MN⊥B₁C₁；
（2）求二面角B₁-MN-C₁的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先證明MN在平面ABC上的射影為AN，再證明AN與BC垂直，從而由三垂線定理可證明MN與BC垂直，最后因?yàn)锽C∥B₁C₁知MN⊥B₁C₁，也可用計(jì)算的方法，連接BM、MC，由勾股定理易得BM=CM，從而MN⊥BC，即可證MN⊥B₁C
（2）先作出二面角的平面角，即取MN中點(diǎn)Q，可證明∠B₁QC₁是二面角B₁-MN-C₁的平面角，再在三角形B₁C₁Q中計(jì)算∠B₁QC₁的余弦值即可

解答：解：（1）法一：連接AN．
∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱
∴AA₁⊥平面ABC，且AB=AC
∴AN為MN在面ABC上的射影
又N為BC的中點(diǎn)，且AB=AC
∴AN⊥BC
由三垂線定理知MN⊥BC
又BC∥B₁C₁知MN⊥B₁C₁
法二：連接BM、MC，
由勾股定理易得BM=CM，從而MN⊥BC，即可證MN⊥B₁C₁ 
（2）取MN的中點(diǎn)Q，連接C₁Q、B₁Q
∵B₁M=B₁N，C₁M=C₁Q
∴B₁Q⊥MN，C₁Q⊥MN
∴∠B₁QC₁是二面角B₁-MN-C₁的平面角
又MN=

AM2+AN2

=

a2+(2a)2-a2

=2a
則B₁Q=

B1N2-MQ2

=

5a2-a2

=2a=C1Q
∴△B₁C₁Q為正三角形，
∴∠B₁QC₁=60°
故二面角B₁-MN-C₁的余弦值為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了證明線線垂直的方法，求二面角大小的方法，解題時(shí)要注意積累證明線線垂直的常用思路和找二面角平面角的各種手段，提高解題能力