Question

【題目】已知橢圓C：的左右頂點為A、B，右焦點為F，一條準線方程是，短軸一端點與兩焦點構成等邊三角形，點P、Q為橢圓C上異于A、B的兩點，點R為PQ的中點

求橢圓C的標準方程；

直線PB交直線于點M，記直線PA的斜率為，直線FM的斜率為，求證：為定值；

若，求直線AR的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】

（1）由準線方程得，由等邊三角形得，聯立解得，結合求得，得橢圓標準方程；

（2）設直線PB方程為，與橢圓方程聯立可解得交點P的坐標，同時求得點M，F的坐標，計算即得；

（3）由，可得，即，設AP的方程為，代入橢圓方程求得P點坐標，把換成，可得Q點坐標，計算直線斜率表示為的函數，

可結合換元法和基本不等式求得此函數的函數值的范圍．

橢圓的一條準線方程是，可得，

短軸一端點與兩焦點構成等邊三角形，可得，

解得，，，

即有橢圓方程為；

證明：由，，

設直線PB的方程為，

聯立橢圓方程，

可得，

解得或，

即有，

，，

則，

即為定值；

由，可得，即，

設AP的方程為，代入橢圓方程，

可得，

解得或，

即有，

將t換為可得，

則R的坐標為，

即有直線AR的斜率

，

可令，則，

則，

當時，，

當且僅當時上式取得等號，

同樣當時，，

時，，，

則AR的斜率范圍為