【題目】已知函數
.
（1）求函數
的最值；
（2）函數圖像在點
處的切線斜率為
有兩個零點
，求證：
.
【答案】（1）見解析；（2）見解析.
【解析】試題分析：（1）先求導數，得導函數零點，根據a的正負討論導函數符號變化規律，確定單調性，進而確定最值取法，（2）先根據導數幾何意義確定a的值，再根據零點條件列等量關系：
，根據目標不等式構造
，最后利用導數研究函數
最值可證不等式
試題解析：（1）
，
當
時，
在
上單調遞減，在
上單調遞增，有最小值
，無最大值；
當
時，在上單調遞增，在上單調遞減，有最大值，無最小值.
（2）依題知
，即
，所以
，
，
所以
在
上單調遞減，在
上單調遞增.
因為
是的兩個零點，必然一個小于
，一個大于，不妨設
.
因為
，
所以
，
變形為
.
欲證
，只需證
，
即證
.
令
，則只需證
對任意的
都成立.
令
，則
所以
在
上單增，
即對任意的都成立.
所以.
數學奧賽暑假天天練南京大學出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某煤礦發生透水事故時，作業區有若干人員被困．救援隊從入口進入之后有L1，L2兩條巷道通往作業區(如下圖)，L1巷道有A1，A2，A3三個易堵塞點，各點被堵塞的概率都是
；L2巷道有B1，B2兩個易堵塞點，被堵塞的概率分別為
，
.
(1)求L1巷道中，三個易堵塞點最多有一個被堵塞的概率；
(2)若L2巷道中堵塞點個數為X，求X的分布列及均值E(X)，并按照“平均堵塞點少的巷道是較好的搶險路線”的標準，請你幫助救援隊選擇一條搶險路線，并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
，橢圓
：
（
）的離心率為
，
是橢圓 的右焦點，直線
的斜率為
，
為坐標原點.
（1）求 的方程；
（2）設過點
的動直線
與 相交于
，
兩點，當
的面積最大時，求 的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知f（x）=sin（x+ 
）+sin（x﹣ ）+cosx+a（a∈R，a是常數）．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）若a=0，作出y=f（x）在[﹣π，π]上的圖象；
（3）若x∈[﹣ 
， ]時，f（x）的最大值為1，求a的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】給出下列命題：
①如果
，
是兩條直線，且
，那么平行于經過的任何平面；
②如果直線和平面
滿足
，那么直線與平面內的任何直線平行；
③如果直線，和平面滿足，
，那么；
④如果直線，和平面滿足，，
，那么；
⑤如果平面，
，
滿足
，
，那么
.
其中正確命題的序號是__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】數列{an}的各項均為正數，a1=t，k∈N* ， k≥1，p＞0，an+an+1+an+2+…+an+k=6pn ．
（1）當k=1，p=5時，若數列{an}成等比數列，求t的值；
（2）設數列{an}是一個等比數列，求{an}的公比及t（用p、k的代數式表示）；
（3）當k=1，t=1時，設Tn=a1+ 
+ 
+…+ 
+ 
，參照教材上推導等比數列前n項和公式的推導方法，求證：{ 
Tn﹣ 
﹣6n}是一個常數．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】將函數y= 
cosx+sinx（x∈R）的圖象向左平移m（m＞0）個單位長度后，所得到的圖象關于y軸對稱，則m的最小值是（ ）
A.
B.
C.
D.
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