Question

函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤π）在一個周期內，當x=

π

6

時，y取最小值-3；當x=

2π

3

時，y最大值3．
（I）求f（x）的解析式； 
（II）求f（x）在區間[

π

2

，π]上的最值．

Answer 1

分析：（I）由函數的最值可求的A=3，在一個周期內最小值點與最大值點的距為

1

2

T=

2π

3

-

π

6

=

π

2

，T=π根據周期公式T=

2π

ω

可求ω，最后再把函數所給的點(

π

6

，-3)代入結合已知φ的范圍可求φ的值，從而求出函數的解析式
（II））由x∈[

π

2

，π]可得，

π

6

≤2x-

5π

6

≤

7π

6

結合正弦函數的性質可得
當x=

2π

3

時，f（x）取最大值3，當x=

7π

6

時，f（x）取最小值-

3

2

解答：解：（I）∵在一個周期內，當x=

π

6

時，y取最小值-3；當x=

2π

3

時，y最大值3．
∴A=3，

T

2

=

2π

3

-

π

6

=

π

2

，
∴T=π，ω=2，
∴f（x）=3sin（2x+?），（3分）
由當x=

2π

3

時，y最大值3得sin(

4π

3

+φ)=1，

4π

3

+φ=2kπ+

π

2

(k∈Z)
，φ=2kπ-

5π

6

，
∵|φ|≤π，
∴φ=-

5

6

π
∴f(x)=3sin(2x-

5π

6

)．（6分）
（II）∵x∈[

π

2

，π]，
∴

π

6

≤2x-

5π

6

≤

7π

6

（8分）
∴當x=

2π

3

時，f（x）取最大值3；（10分）
當x=

7π

6

時，f（x）取最小值-

3

2

．（12分）

點評：本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定函數的解析式，一般步驟是：由函數的最值確定A的值，由函數所過的特殊點確定周期T，利用周期公式T=

2π

ω

求ω，再把函數所給的點（一般用最值點）的坐標代入求φ，從而求出函數的解析式；還考查了正弦函數的在一區間上的最值的求解．