Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

1

2

，且經過點A（2，3）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線AO（O是坐標原點）與橢圓C相交于點B，試證明在橢圓C上存在不同于A、B的點P，使AP²=AB²+BP²（不需要求出點P的坐標）．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的性質，由離心率e=

1

2

可得b2=

3

4

a2，又由點A（2，3）在橢圓上，可得

4

a2

+

9

b2

=1，聯立兩式，可得a、b的值，即可得答案；
（2）首先將AP²=AB²+BP²成立轉化為AB⊥BP，由橢圓的性質，易得B的坐標，進而可得直線BP的方程，與橢圓的方程聯立轉化為關于y的一元二次方程43y²+234y+315=0，，分析可得其△＞0恒成立，即可得BP與橢圓有2個交點，可得證明．

解答：解：（1）依題意，e=

c

a

=

a2-b2

a

=

1

2

，
從而b2=

3

4

a2，
點A（2，3）在橢圓上，所以

4

a2

+

9

b2

=1，
解得a²=16，b²=12，
橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

12

=1，
（2）若AP²=AB²+BP²成立，則必有∠ABP=90°，即AB⊥BP，
由橢圓的對稱性知，B（-2，-3），
由AB⊥BP，kAB=

3

2

知kBP=-

2

3

，
所以直線BP的方程為y+3=-

2

3

(x+2)，即2x+3y+13=0，
由

x2 16 + y2 12 =1 2x+3y+13=0

，
得43y²+234y+315=0，
△=234²-4×43×315＞0，
所以直線BP與橢圓C有兩個不同的交點，
即在橢圓C上存在不同于A、B的點P，使AP²=AB²+BP²．

點評：本題考查橢圓的性質及其性質的應用，本題中將“將AP²=AB²+BP²成立”轉化為“AB⊥BP”是解題的突破口．