Question

【題目】已知數列的前項和為，且。

（1）證明：，并求的通項公式；

（2）構造數列求證：無論給定多么大的正整數，都必定存在一個，使.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）由及，得。由，及，得。

下面用數學歸納法證明：，即 .①

（i）當時，由，，知①成立。

（ii）假設時，①成立，即，，有，約去得.移項并代入得

.②則 。

約去得.約去得，

移項并代入得.②由式②、③知，當時，①成立，綜上得證式①成立。

合并得，這就證明了，且求出了通項。

（2）把代入，對有

。

因為 ，

所以，對于給定的正整數，存在一個，使 。

說明：第（1）問用公式可得 ，

但需，才能推出，

此解法特點是“證明，并求的通項公式”同時進行。

第（2）問的一個背景是調和級數發散，證明不是唯一的。