Question

已知雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1，其右焦點為F，P其上一點，點M滿足|

.

MF

|=1，

.

MF

•

MP

=0，則|

MP

|的最小值為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：數形結合,平面向量及應用,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：畫出圖形，結合圖形，得出在Rt△FPM中，要使直角邊|

MP

|最小，只需|

FP

|最小，求出|

FP

|的最小值，即得|

MP

|的最小值．

解答： 解：∵|

MF

|=1，∴點M是以點F（5，0）為圓心，1為半徑的單位圓；
不妨設P為雙曲線右支上的任一點，
∵

MF

•

MP

=0，∴

MF

⊥

MP

，
∴△PMF為直角三角形，且∠FMP=90°，|

FP

|為該直角三角形的斜邊長；
∵P為雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1上的點，
在Rt△FPM中，要使直角邊|

MP

|最小，由于|

MF

|=1，
只需|

FP

|最小，
∵當點P為雙曲線C的右支與x軸的交點時，|

FP

|最小，此時P（3，0）．
∴|

MP

|=

(5-3)2-12

=

3

，如圖所示；
∴|

MP

|的最小值為

3

．
故答案為：

3

．

點評：本題考查了平面向量的應用問題，也考查了雙曲線的定義與幾何性質的應用問題，考查了圓的定義與性質的應用問題，是綜合題．