Question

20．已知圓M：（x-1）²+（y-1）²=2，直線l：x+y+2=0上有一動點P，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點．
（1）求當∠APB最大時，△PAB的面積；
（2）試探究直線AB是否過定點，若是，求出該定點；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）當|PM|最小時sinAPM最大，即∠APM最大，亦即∠APB最大，此時MP⊥l．
（2）在直線l：x+y+2=0上任取一點P（t，-t-2），以MP為直徑的圓的方程為（x-1）（x-t）+（y-1）（y+t+2）=0，即x²+y²-（t+1）x+（t+1）y-2=0，求出過兩圓x²+y²-（t+1）x+（t+1）y-2=0和x²+y²-2x-2y=0交點的直線AB的方程，即可得出結論．

解答 解：（1）如圖，在直角三角形MPA中，$|AM|=\sqrt{2}$，∠APM是銳角，由$sinAPM=\frac{|AM|}{|PM|}=\frac{{\sqrt{2}}}{|PM|}$，當|PM|最小時sinAPM最大，即∠APM最大，亦即∠APB最大，此時MP⊥l．
當MP⊥l時，直線MP的方程為 y=x，
由$\left\{\begin{array}{l}y=x\\ x+y+2=0\end{array}\right.$得 x=y=-1，所以點P的坐標為P（-1，-1），直線AB通過以PM為直徑的圓與圓M的交點
以PM為直徑的圓的方程為 （x-1）（x+1）+（y-1）（y+1）=0，即x²+y²=2，
過圓x²+y²=2與圓（x-1）²+（y-1）²=2交點的直線AB的方程為：x+y-1=0
點M到直線AB的距離為$\frac{1}{{\sqrt{2}}}$，$|AB|=\sqrt{6}$，點P到AB的距離為$\frac{3}{{\sqrt{2}}}$，所以，△PAB的面積為 ${S_{△PAB}}=\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\frac{3}{{\sqrt{2}}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．…（6分）
（2）在直線l：x+y+2=0上任取一點P（t，-t-2），以MP為直徑的圓的方程為（x-1）（x-t）+（y-1）（y+t+2）=0，即x²+y²-（t+1）x+（t+1）y-2=0
過兩圓x²+y²-（t+1）x+（t+1）y-2=0和x²+y²-2x-2y=0交點的直線AB的方程為（1-t）x+（t+3）y-2=0，即（y-x）t+x+3y-2=0，由$\left\{\begin{array}{l}y-x=0\\ x+3y-2=0\end{array}\right.$得$x=y=\frac{1}{2}$，所以，直線AB通過定點$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$．…（6分）

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．