Question

如果在數列{a_n}中，a₁=1，對任何正整數n，等式na_n+1=（n+2）a_n都成立，那么

lim

n→∞

an

n2

的值等于

 

．

Answer 1

分析：由題設條件知，需要先求出通項a_n，由對任何正整數n，等式na_n+1=（n+2）a_n都成立知，可用累乘法求出通項，再代入求極限即可

解答：解：由任何正整數n，等式na_n+1=（n+2）a_n都成立知

an+1

an

=

n+2

n

即

an

an-1

=

n+1

n-1

故有

an

an-1

×

an-1

an-2

×…× 

a2

a1

=

an

a1

=

n+1

n-1

×

n

n-2

×…×

4

2

× 

3

1

=

n2+n

2

又a₁=1，故a_n=

n2+n

2

由

lim

n→∞

an

n2

=

lim

n→∞

n2+n 2

n2

=

lim

n→∞

(

1

2

+

1

2n

)=

1

2

故答案為

1

2

點評：本題考查數列的極限，由題設中所給的遞推關系求出通項再求其極限，數列的極限是數列中一類比較重要的題型，其特征是數列是無限的．