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已知函數f(x)=-x3+ax2+b(a、b∈R).
(I)若函數f(x)在x=0,x=4處取得極值,且極小值為-1,求f(x)的解析式;
(II)若x∈[0,1],函數f(x)圖象上的任意一點的切線斜率為k,當k≥-1恒成立時,求實數a的取值范圍.
【答案】分析:(I)通過求函數的導數,函數f(x)在x=0,x=4處取得極值,就是x=0,x=4時導數為0,求出a,利用極小值為-1,求出b,可得f(x)的解析式;
(II)x∈[0,1],函數f(x)圖象上的任意一點的切線斜率為k,k≥-1恒成立,就是導函數的值域大于-1恒成立,再用二次函數根與系數的關系,求實數a的取值范圍.
解答:解:(I)由f′(x)=-3x2+2ax得
得a=6.(3分)
當x<0,f′(x)<0.當0<x<4時,f′(x)>0.
故當x=0時,f(x)達到極小值f(0)=b,∴b=-1.
∴f(x)=-x3+6x2-1;(6分)
(II)當x∈[0,1]時,
k=f′(x)=-3x2+2ax≥-1恒成立,
即令g(x)=3x2-2ax-1≤0
對一切x∈[0,1]恒成立,(9分)
只需即a≥1.
所以,實數a的取值范圍為[1,+∞).(12分)
點評:本題考查待定系數法求函數解析式,函數恒成立問題,利用導數研究函數的極值,二次函數根與系數的關系,是中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數f(x)的最小正周期;
(2)若函數y=f(2x+
π
4
)
的圖象關于直線x=
π
6
對稱,求φ的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)為定義在R上的奇函數,且當x>0時,f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時f(x)的表達式;
(2)若關于x的方程f(x)-a=o有解,求實數a的范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調遞增區間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區間(1,3)上總不單調,求實數m的范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數列{
1
f(n)
}
的前n項和為Sn,則S2010的值為(  )
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)是定義在區間(-1,1)上的奇函數,且對于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實數a的取值范圍是
 

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