Question

已知函數f（x）=-x³+ax²+b（a、b∈R）．
（I）若函數f（x）在x=0，x=4處取得極值，且極小值為-1，求f（x）的解析式；
（II）若x∈[0，1]，函數f（x）圖象上的任意一點的切線斜率為k，當k≥-1恒成立時，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）通過求函數的導數，函數f（x）在x=0，x=4處取得極值，就是x=0，x=4時導數為0，求出a，利用極小值為-1，求出b，可得f（x）的解析式；
（II）x∈[0，1]，函數f（x）圖象上的任意一點的切線斜率為k，k≥-1恒成立，就是導函數的值域大于-1恒成立，再用二次函數根與系數的關系，求實數a的取值范圍．
解答：解：（I）由f′（x）=-3x²+2ax得
∴得a=6．（3分）
當x＜0，f′（x）＜0．當0＜x＜4時，f′（x）＞0．
故當x=0時，f（x）達到極小值f（0）=b，∴b=-1．
∴f（x）=-x³+6x²-1；（6分）
（II）當x∈[0，1]時，
k=f′（x）=-3x²+2ax≥-1恒成立，
即令g（x）=3x²-2ax-1≤0
對一切x∈[0，1]恒成立，（9分）
只需即a≥1．
所以，實數a的取值范圍為[1，+∞）．（12分）
點評：本題考查待定系數法求函數解析式，函數恒成立問題，利用導數研究函數的極值，二次函數根與系數的關系，是中檔題．