Question

【題目】已知函數；

（1）若函數在上為增函數，求正實數的取值范圍；

（2）當時，求函數在上的最值；

（3）當時，對大于1的任意正整數，試比較與的大小關系．

Answer 1

【答案】（1）；（2）函數在區間上的最大值是，最小值是0；（3）見解析.

【解析】

（1）先求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出的范圍即可；
（2）將代入，求出函數的導數，得到函數的單調區間，從而求出函數的最值；
（3）求出函數的導數，得到函數的單調性，令 ，得到 ，從而證出結論．

（1）因為，所以

因為函數在上為增函數，所以對恒成立，

所以對恒成立，即對恒成立，所以.

(2)當時，，所以當時，，故在上單調遞減；當，，故在上單調遞增，所以在區間上有唯一極小值點，故，又，，，

因為，所以，即

所以在區間上的最大值是

綜上可知，函數在區間上的最大值是，最小值是0.

（3）當時，，，故在上為增函數.

當時，令，則，故

所以，即>

當時，對大于1的任意正整數，有 >