Question

設點P到點M(-1,0)、N(1,0)距離之差為2m(m≠0),到x軸、y軸距離之比為2,求m的取值范圍.

Answer 1

解法一:設點P的坐標為(x,y),

依題設得,即y=±2x(x≠0).                           ①

因此,點P(x,y)、M(-1,0)、N(1,0)三點不共線,知|PM|-|PN|＜|MN|=2,

因為||PM|-|PN||=2|m|＞0,

所以0＜|m|＜1.

因此,點P在以M、N為焦點的雙曲線上.

故                                              ②

將①式代入②式,得x²=,

因為1-m²＞0,所以1-5m²＞0.

解得0＜|m|＜,

即m的取值范圍為(-,0)∪(0,).

解法二:設點P的坐標為(x,y),依題設得,

即y=±2x(x≠0).                                                              ①

由|PM|-|PN|=2m,得

                       ②

由②式,可得

所以|m|＜,且|m|≠0.

由②式移項,兩邊平方整理,得

m(x-1)²+y²=x-m²,

將①式代入,整理,得

(1-5m²)x²=m²(1-m²),                                                      ③

因為x²＞0,且③式右端大于0,1-5m²＞0.

綜上,得m滿足0＜|m|＜.

即m的取值范圍是(-,0)∪(0,).