Question

已知方程

|cosx|

x

=k在（0，+∞）上有兩個不同的解α、β（α＜β），則下列的四個命題正確的是（　�。�

• A、sin2α=2αcos²α
• B、cos2α=2αsin²α
• C、sin2β=-2βsin²β
• D、cos2β=-2βsina²β

Answer 1

考點：余弦函數的圖象

專題：導數的綜合應用

分析：將方程

|cosx|

x

=k轉化為|cosx|=kx，作出兩個函數的圖象，利用數形結合，以及導數的幾何意義即可得到結論．

解答：解：∵

|cosx|

x

=k，∴|cosx|=kx，
∴要使方程

|cosx|

x

=k（k＞0）在（0，+∞）上有兩個不同的解，則y=|cosx|的圖象與直線y=kx（k＞0）在（0，+∞）上
有且僅有兩個公共點，
所以直線y=kx與y=|cosx|在（

π

2

，π）內相切，且切于點（β，-cosβ），此時y=|cosx|=-cosx．
∴切線的斜率為sinβ=

-cosβ

β

，∴βsinβ=-cosβ，
∴2βsinβsinβ=2sinβcosβ，
∴sin 2β=-2βsin²β，
故選：C．

點評：本題主要考查函數的零點與方程的根的關系，導數的幾何意義，體現了轉化的數學思想．