Question

【題目】已知函數(shù)，．

（Ⅰ）若函數(shù)在處的切線方程為，求的值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，若方程在上總有兩個(gè)不等的實(shí)根， 求的最小值．

Answer 1

【答案】（1），． （2） （3）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到參數(shù)值；（2）不等式恒成立，即，

等價(jià)于，令，對(duì)這個(gè)函數(shù)求導(dǎo)研究單調(diào)性求最值即可；（3）即，，令，對(duì)這個(gè)函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的變化趨勢(shì)，使得函數(shù)和x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)即可.

解析：（Ⅰ） ，．

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，． （）．所以即.

又因?yàn)?/span>，所以等價(jià)于．

令，則.解，得；解，得；解，得．

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，

故實(shí)數(shù)的取值范圍是

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，即，．

令，則.

方程在上總有兩個(gè)不等的實(shí)根等價(jià)于

函數(shù)的圖象與軸在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，

從而函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)最多一個(gè)，不符合題意.

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，

解，得；解，得；解，得.

所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)最多一個(gè)，不符

②當(dāng)時(shí)，因?yàn)楫?dāng)趨于時(shí)，的值趨于正無窮大，

所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)．

由得，即對(duì)恒成立. 等價(jià)于.

再令，則.

解得；解得；解得.

所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

所以，故的解為．

由得即對(duì)恒成立.所以，

所以的解為．所以的解為. 綜合①②得.

綜合（ⅰ）（ⅱ）得滿足題意要求的實(shí)數(shù)的最小值為．