Question

【題目】根據(jù)條件，求下列曲線的方程．

（1）已知兩定點,曲線上的點到距離之差的絕對值為，求曲線的方程；

（2）在 軸上的一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且焦距為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

【答案】（1）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)雙曲線的定義和條件可得，再求得，由兩定點坐標(biāo)得雙曲線焦點在軸上，根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程寫出雙曲線的方程； （2）因為焦距為，所以。在 軸上的一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，再由橢圓的對稱性可得在 軸上的一個焦點與短軸兩端點構(gòu)成的三角形為等腰直角三角形，所以在 軸上的一個焦點與短軸的一個端點、原點構(gòu)成的三角形也為直角三角形，所以。，因為焦點在軸上，所以橢圓的方程為。

試題解析：（1）由雙曲線的定義可知，該曲線是焦點在雙曲線，

設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，根據(jù)已知得 即.

由求得.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．

由已知得 ，所以 ．

故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．