Question

坐標平面上一點P到點A（

1

2

，0），B（a，2）及到直線x=-

1

2

的距離都相等．如果這樣的點P恰好只有一個，那么實數a的值是

 

．

Answer 1

分析：坐標平面上一點P到點A（

1

2

，0），及到直線x=-

1

2

的距離相等．
則P的軌跡是拋物線，在拋物線上只有一點滿足題意，那么線段AB的垂直平分線與拋物線相切，或平行其軸．

解答：解：平面上到點A(

1

2

，0)及到直線x=

1

2

的距離相等的點的軌跡是拋物線y²=2x．
本題實質上就是該拋物線上有且只有一個點到點A(

1

2

，0)，B（a，2）的距離相等，
有兩種情況：一是線段AB的垂直平分線與拋物線相切，
一是線段AB的垂直平分線與拋物線的對稱軸平行．
可得結果實數a的值為

1

2

或-

1

2

．
故答案為：

1

2

或-

1

2

點評：本題考查拋物線的定義，拋物線的性質，是基礎題．