Question

如圖，橢圓的中心為原點O，離心率，一條準線的方程為。

（1）求該橢圓的標準方程；
（2）設動點P滿足：，其中M，N是橢圓上的點，直線OM與ON的斜率之積為-。問：是否存在兩個定點F₁，F₂，使得|PF₁|+|PF₂|為定值？若存在，求F₁，F₂的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）由，
解得a=2，，b²=a²-c²=2
故橢圓的標準方程為
。
（2）設 P（x，y），M（x₁，y₁），N （x₂，y₂）
則由
得（x，y）=（x₁，y₁）+2（x₂，y₂）=（x₁+2x₂，y₁+2y₂），
即x=x₁+2x₂，y =y₁+2y₂
因為點M，N在橢圓x²+2y²=4上，
所以
故

=20+4（x₁x₂+2y₁y₂）
設k_OM，k_ON分別為直線OM，ON的斜率，
由題設條件知
因此x₁x₂+2y₁y₂=0，
所以x²+2y²=20
所以P點是橢圓上的點
設該橢圓的左、右焦點為F₁，F₂，
則由橢圓的定義|PF₁|+|PF₂| 為定值，
又因
因此兩焦點的坐標為。