Question

cos（

π

2

+x）=(

1

2

)x在x∈[0，100π]上的實數解的個數是（　�。�

• A、98
• B、100
• C、102
• D、200

Answer 1

分析：分析函數y=cos（

π

2

+x）與函數y=(

1

2

)x在x∈[0，100π]上的值域及性質，主要是函數y=cos（

π

2

+x）在一個周期上與函數y=(

1

2

)x的交點的個數，進而得到函數y=cos（

π

2

+x）與函數y=(

1

2

)x在x∈[0，100π]上的交點的個數，即可得到cos（

π

2

+x）=(

1

2

)x在x∈[0，100π]上的實數解的個數

解答：解：∵函數y=cos（

π

2

+x）=-sinx在的周期為2π，在x∈[0，100π]上的值域為[-1，1]
函數y=(

1

2

)x在x∈[0，100π]上的值域為[(

1

2

)100π，1]?[-1，1]
則在每一個周期上函數y=cos（

π

2

+x）=-sinx的圖象與函數y=(

1

2

)x的圖象都有2個交點
故函數y=cos（

π

2

+x）與函數y=(

1

2

)x在x∈[0，100π]上共有50×2=100個交點
故cos（

π

2

+x）=(

1

2

)x在x∈[0，100π]上共有100個實數解
故選B．

點評：本題考查的知識點是余弦函數的圖象，指數函數的圖象與性質，其中根據函數解析式，分析出兩個函數的x∈[0，100π]上的值域，然后討論函數y=cos（

π

2

+x）一個周期上與函數y=(

1

2

)x圖象交點的個數，是解答本題的關鍵．