Question

設(shè)F₁、F₂分別為雙曲線：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，P為雙曲線右支上任一點，若

|PF1|2

|PF2|

的最小值為8a，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（　�。�

• A、[3，+∞）
• B、（1，3]
• C、（1，

  3

  ]
• D、[

  3

  ，+∞）

Answer 1

分析：設(shè)|PF₂|=t，則|PF₁|=2a+t，故

|PF1|2

|PF2|

=

4a2+4at+t2

t

=4a+

4a2

t

+t≥8a，由2a≥c-a 及 e＞1 求得e 的范圍．

解答：解：由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a． 設(shè)|PF₂|=t，則|PF₁|=2a+t，
故

|PF1|2

|PF2|

=

4a2+4at+t2

t

=4a+

4a2

t

+t≥4a+2

4a2 t •

t=8a，當(dāng)且僅當(dāng) t=2a時，等號成立．
又∵t≥c-a，∴2a≥c-a，∴e=

c

a

≤3．
又因為 e＞1，故e 的范圍為 （1，3]，
故選B．

點評：本題考查雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，利用 t≥c-a  是解題的關(guān)鍵．