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如圖，已知A、B為橢圓

=1(a＞b＞0)和雙曲線

=1的公共頂點，P、Q分別為雙曲線和橢圓上不同于A、B的動點，且

=λ

(λ∈R，λ＞1)．設AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為k₁、k₂、k₃、k₄．
（1）求證：k1•k2=

；
（2）求k₁+k₂+k₃+k₄的值；
（3）設F₁、F₂分別為雙曲線和橢圓的右焦點，若PF₁∥QF₂，求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值．

分析：（1）設P（x₁，y₁），則k₁•k₂=

x1+a

•

x1-a

y12

x12-a2

，再利用點P（x₁，y₁）在雙曲線

=1上，從而可證k1•k2=

；
（2）先計算k₁+k₂=

x1+a

x1-a

2x1y1

x12-a2

2b2

•

，設Q（x₂，y₂）同理可得k₃+k₄=-

2b2

•

，

與

共線⇒

，從而可求得k₁+k₂+k₃+k₄的值；
（3）由（2）可求得∴（k₁+k₂）²=4

•

x12

y12

，（k₃+k₄）²=4

•

x22

y22

，PF₁∥QF₂⇒|OF₁|=λ|OF₂|⇒λ²=

a2+b2

a2-b2

⇒

x12

y12

，從而得到（k₁+k₂）²=4，（k₃+k₄）²=4；問題即可解決．

解答：（1）證明：設P（x₁，y₁），k₁•k₂=

x1+a

•

x1-a

y12

x12-a2

，且

x12

y12

=1，
∴x₁²-a²=

•y₁²，
∴k1•k2=

；
（2）解：∵k₁+k₂=

x1+a

x1-a

2x1 y1

x12-a2

2x1y1

• y12

2b2

•

，
設Q（x₂，y₂），同理可得k₃+k₄=-

2b2

•

，
又

與

共線，
∴x₁=λx₂，y₁=λy₂，
∴

，
∴k₁+k₂+k₃+k₄=

2b2

（

）=0；
（3）解：∵

=λ

(λ∈R，λ＞1)，
∴

x2=

y2=

，又

x22

y22

=1，
∴

x12

y12

=λ2，又

x12

y12

=1，
∴

x12=

λ2+1

y12=

λ2-1

，
又∵若PF₁∥QF₂，
∴|OF₁|=λ|OF₂|，
∴λ²=

a2+b2

a2-b2

，
∴

x12

y12

λ2+1

λ2-1

•

，
∴（k₁+k₂）²=4

•

x12

y12

•

=4；
同理（k₃+k₄）²=4；
又k1•k2=

，k3•k4=-

，
∴k₁²+k₂²+k₃²+k₄²=（k₁+k₂）²+（k₃+k₄）²-2（k₁•k₂+k₃•k₄）=4+4-0=8．

點評：本題考查圓錐曲線的綜合，著重考查整體代換與方程思想，培養學生綜合分析問題、解決問題的能力，屬于難題．

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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•浦東新區二模）（1）設橢圓C₁：

=1與雙曲線C₂：9x2-

9y2

=1有相同的焦點F₁、F₂，M是橢圓C₁與雙曲線C₂的公共點，且△MF₁F₂的周長為6，求橢圓C₁的方程；
我們把具有公共焦點、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”．
（2）如圖，已知“盾圓D”的方程為y2=

4x (0≤x≤3)

-12(x-4) (3＜x≤4)

．設“盾圓D”上的任意一點M到F（1，0）的距離為d₁，M到直線l：x=3的距離為d₂，求證：d₁+d₂為定值；
（3）由拋物線弧E₁：y²=4x（0≤x≤

）與第（1）小題橢圓弧E₂：

=1（

≤x≤a）所合成的封閉曲線為“盾圓E”．設過點F（1，0）的直線與“盾圓E”交于A、B兩點，|FA|=r₁，|FB|=r₂且∠AFx=α（0≤α≤π），試用cosα表示r₁；并求

的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，F₁，F₂為橢圓C：

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，D，E是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率e=

，S△DEF2=1-

．若點M（x₀，y₀）在橢圓C上，則點N（

，

）稱為點M的一個“橢點”．直線l與橢圓交于A，B兩點，A，B兩點的“橢點”分別為P，Q，已知以PQ為直徑的圓經過坐標原點O．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）△AOB的面積是否為定值？若為定值，試求出該定值；若不為定值，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•懷化二模）如圖展示了一個由區間（0，k）（其中k為一正實數）到實數集R上的映射過程：區間（0，k）中的實數m對應線段AB上的點M，如圖1；將線段AB圍成一個離心率為

的橢圓，使兩端點A、B恰好重合于橢圓的一個短軸端點，如圖2；再將這個橢圓放在平面直角坐標系中，使其中心在坐標原點，長軸在x軸上，已知此時點A的坐標為（0，1），如圖3，在圖形變化過程中，圖1中線段AM的長度對應于圖3中的橢圓弧ADM的長度．圖3中直線AM與直線y=-2交于點N（n，-2），則與實數m對應的實數就是n，記作f（m）=n，