Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形．PD⊥底面ABCD，E是PB的中點．
（1）求證：面AEC⊥面PBD；
（2）當PD=AB=2時，求二面角A-DE-C的大小及點A到面DEC的距離．

Answer 1

分析：（1）欲證平面AEC⊥平面PDB，根據面面垂直的判定定理可知在平面AEC內一直線與平面PDB垂直，而根據題意可得AC⊥平面PDB；
（2）先求出面DEC以及平面ADE的一個法向量，把求二面角問題轉化為求向量的夾角問題；求點A到面DEC的距離實際上是求向量

AD

在面DEC的法向量上的投影的長度．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，
∴平面AEC⊥平面PDB．
（2）解：分別以AD，DC，DP所在的直線為X，Y，Z軸，建立空間直角坐標系；
則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），P（0，0，2），E（1，1，1）；
∴

DE

=（1，1，1），

AD

=（-2，0，0）；

CD

=（0，-2，0）
設平面ADE的法向量為

n

=（a，b，c），則

n • AD =0  n • DE =0

⇒

-2a=0 a+b+c=0

⇒

n

=（0，-1，1）；
同理設平面CDE的法向量為

m

=（d，e，f），則

m • DE =0 m • CD =0

⇒

-2e=0 d+e+f=0

⇒

m

=（-1，0，1）；
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

2 × 2

=

1

2

．
∴二面角A-DE-C的大小為：60°．
∴點A到平面EDC的距離d=|

AD • m

| m |

|=

2

2× 2

=

2

2

．

點評：本題考查的知識點是向量語言表述直線的垂直關系，點到平面的距離運算，用空間向量求直線間的夾角，向量法的關鍵是建立恰當的空間坐標系，將空間線面關系問題轉化為向量夾角問題，體現了轉化的思想方法，屬中檔題．