Question

19．設點P在曲線y=2e^x上，點Q在曲線y=lnx-ln2上，則|PQ|的最小值為$\sqrt{2}$（1+ln2）．

Answer 1

分析 考慮到兩曲線關于直線y=x對稱，求丨PQ丨的最小值可轉化為求P到直線y=x的最小距離，再利用導數的幾何意義，求曲線上斜率為1的切線方程，由點到直線的距離公式即可得到最小值．

解答 解：∵y=2e^x與y=lnx-ln2互為反函數，
先求出曲線y=2e^x上的點到直線y=x的最小距離．
設與直線y=x平行且與曲線y=2e^x相切的切點P（x₀，y₀）．
y′=2e^x，
∴2e${\;}^{{x}_{0}}$=1，解得x₀=ln$\frac{1}{2}$=-ln2，
∴y₀=2e${\;}^{ln\frac{1}{2}}$=1．
得到切點P（-ln2，1），
到直線y=x的距離d=$\frac{|-ln2-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1+ln2），
可得丨PQ丨的最小值為2d=$\sqrt{2}$（1+ln2），
故答案為：$\sqrt{2}$（1+ln2）．

點評 本題主要考查了互為反函數的函數圖象的對稱性，導數的幾何意義，曲線的切線方程的求法，轉化化歸的思想方法．