Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F₁，F₂是其左右焦點，離心率為

6

3

，且經過點（3，1）
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若A₁，A₂分別是橢圓長軸的左右端點，Q為橢圓上動點，設直線A₁Q斜率為k，且k∈(-

1

2

，  -

1

3

 )，求直線A₂Q斜率的取值范圍；
（3）若Q為橢圓上動點，求cos∠F₁QF₂的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓的離心率為

6

3

，且經過點（3，1），求橢圓C的標準方程；
（2）設A₂Q的斜率為k'，Q（x₀，y₀），則可得kk'=-

b2

a2

=-

1

3

，利用k∈(-

1

2

，  -

1

3

 )，即可求直線A₂Q斜率的取值范圍；
（3）利用橢圓的定義、余弦定理，及基本不等式，即可求cos∠F₁QF₂的最小值．

解答：解：（1）∵橢圓的離心率為

6

3

，且經過點（3，1），建立方程，求出幾何量，即可
∴

c a = 6 3 9 a2 + 1 b2 =1 c2=a2-b2

⇒

a2=12 b2=4

，
∴橢圓C的標準方程為

x2

12

+

y2

4

=1…（3分）
（2）設A₂Q的斜率為k'，Q（x₀，y₀），則k=

y0

x0+a

，k′=

y0

x0-a

…（5分）
∴kk'=

y02

x02-a2

及

x02

a2

+

y02

b2

=1…（6分）
則kk'=-

b2

a2

=-

1

3

又-

1

2

＜k＜-

1

3

…（7分）
∴

2

3

＜k′＜1，
故A₂Q斜率的取值范圍為（

2

3

，1）   …（8分）
（3）設橢圓的半長軸長、半短軸長、半焦距分別為a，b，c，則有a=2

3

，b=2，c=2

2

，|F1F2|=2c=4

2

由橢圓定義，有|QF1|+|QF2|=2a=4

3

…（9分）
∴cos∠F₁QF₂=

|QF1|2+|QF2|2-|F1F2|2

2|QF1||QF2|

…（10分）
=

(|QF1|+|QF2|)2-|F1F2|2-2|QF1||QF2|

2|QF1||QF2|

…（11分）
≥

2b2

( |QF1|+|QF2| 2 )2

-1…（12分）
=2•

b2

a2

-1=-

1

3

…（13分）
∴cos∠F₁QF₂的最小值為-

1

3

．（當且僅當|QF₁|=|QF₂|時，即Q取橢圓上下頂點時，cos∠F₁QF₂取得最小值）
…（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程與幾何性質，考查橢圓的定義，考查余弦定理，考查基本不等式的運用，綜合性強．