Question

某地區注重生態環境建設，每年用于改造生態環境總費用為x億元，其中用于風景區改造為y億元．該市決定建立生態環境改造投資方案，該方案要求同時具備下列三個條件：①每年用于風景區改造費用隨每年改造生態環境總費用增加而增加；②每年改造生態環境總費用至少a億元，至多b億元；③每年用于風景區改造費用不得低于每年改造生態環境總費用的15％，但不得每年改造生態環境總費用的22％．

(1)若a＝2，b＝2.5，請你分析能否采用函數模型y＝作為生態環境改造投資方案；

(2)若a、b取正整數，并用函數模型y＝作為生態環境改造投資方案，請你求出a、b的取值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵， 　　∴函數y＝是增函數，滿足條件①．　3分 　　設， 　　則， 　　令，得． 　　當時，，在上是減函數； 　　當時，，在上是增函數， 　　又，，即，在上是增函數， 　　∴當時，有最小值0.16＝16％＞15％， 　　當時，有最大值0.1665＝16.65％＜22％， 　　∴能采用函數模型y＝作為生態環境改造投資方案．　9分 　　(2)由(1)知， 　　依題意，當，、時，恒成立； 　　下面求的正整數解． 　　令，　12分 　　由(1)知，在上是減函數，在上是增函數， 　　又由(1)知，在時，，且＝16％∈[15％，22％]， 　　合條件，經枚舉，∈[15％，22％]， 　　而[15％，22％]，可得或或， 　　由單調性知或或均合題意．　15分