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某地區(qū)注重生態(tài)環(huán)境建設(shè),每年用于改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用為x億元,其中用于風(fēng)景區(qū)改造為y億元.該市決定制定生態(tài)環(huán)境改造投資方案,該方案要求同時(shí)具備下列三個(gè)條件:①每年用于風(fēng)景區(qū)改造費(fèi)用隨每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用增加而增加;②每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用至少a億元,至多b億元;③每年用于風(fēng)景區(qū)改造費(fèi)用不得低于每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用的15%,但不得高于每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用的25%.若a=1,b=4,請你分析能否采用函數(shù)模型y=
1100
(x3+4x+16)
作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案.
分析:求導(dǎo)函數(shù),可得函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而可求函數(shù)的最值,即可得到結(jié)論.
解答:解:∵y′=
1
100
(3x2+4)>0
,
∴函數(shù)y=
1
100
(x3+4x+16)
是增函數(shù),滿足條件①.
設(shè)g(x)=
y
x
=
1
100
(x2+4+
16
x
)
,
g′(x)=
1
100
(2x-
16
x2
)=
(x-2)(x2+2x+4)
50x2
,
令g'(x)=0,得x=2.
當(dāng)x<2時(shí),g'(x)<0,g(x)在(-∞,2)上是減函數(shù);
當(dāng)x>2時(shí),g'(x)>0,g(x)在(2,+∞)上是增函數(shù),
又a=1,b=4,即x∈[1,2],g(x)在[1,2]上是減函數(shù),在[1,4]上是增函數(shù),
∴當(dāng)x=2時(shí),g(x)有最小值=16%>15%,
當(dāng)x=4時(shí),g(x)=24%<25%,x=1時(shí),g(x)=25%≤25%.
∴能采用函數(shù)模型y=
1
100
(x3+4x+16)
作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案.
點(diǎn)評:本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題,考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,正確求導(dǎo)是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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某地區(qū)注重生態(tài)環(huán)境建設(shè),每年用于改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用為x億元,其中用于風(fēng)景區(qū)改造為y億元.該市決定建立生態(tài)環(huán)境改造投資方案,該方案要求同時(shí)具備下列三個(gè)條件:①每年用于風(fēng)景區(qū)改造費(fèi)用隨每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用增加而增加;②每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用至少a億元,至多b億元;③每年用于風(fēng)景區(qū)改造費(fèi)用不得低于每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用的15%,但不得每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用的22%.

(1)若a=2,b=2.5,請你分析能否采用函數(shù)模型y作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案;

(2)若a、b取正整數(shù),并用函數(shù)模型y作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案,請你求出a、b的取值.

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某地區(qū)注重生態(tài)環(huán)境建設(shè),每年用于改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用為億元,其中用于風(fēng)景區(qū)改造為億元。該市決定制定生態(tài)環(huán)境改造投資方案,該方案要求同時(shí)具備下列三個(gè)條件:①每年用于風(fēng)景區(qū)改造費(fèi)用隨每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用增加而增加;②每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用至少億元,至多億元;③每年用于風(fēng)景區(qū)改造費(fèi)用不得低于每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用的15%,但不得高于每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用的25%.

,,請你分析能否采用函數(shù)模型y=作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案.

 

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某地區(qū)注重生態(tài)環(huán)境建設(shè),每年用于改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用為億元,其中用于風(fēng)景區(qū)改造為億元。該市決定建立生態(tài)環(huán)境改造投資方案,該方案要求同時(shí)具備下列三個(gè)條件:①每年用于風(fēng)景區(qū)改造費(fèi)用隨每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用增加而增加;②每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用至少億元,至多億元;③每年用于風(fēng)景區(qū)改造費(fèi)用不得低于每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用的15%,但不得高于每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用的25%.

,請你分析能否采用函數(shù)模型y=作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案.

 

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某地區(qū)注重生態(tài)環(huán)境建設(shè),每年用于改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用為億元,其中用于風(fēng)景區(qū)改造為億元。該市決定建立生態(tài)環(huán)境改造投資方案,該方案要求同時(shí)具備下列三個(gè)條件:①每年用于風(fēng)景區(qū)改造費(fèi)用隨每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用增加而增加;②每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用至少億元,至多億元;③每年用于風(fēng)景區(qū)改造費(fèi)用不得低于每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用的15%,但不得每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用的22%。

(1)若,,請你分析能否采用函數(shù)模型y作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案;

(2)若、取正整數(shù),并用函數(shù)模型y作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案,請你求出、的取值.

 

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