Question

在面積為18的△ABC中，AB=5，雙曲線E過點A，且以B、C為焦點,已知=27，=54.

如圖，以BC所在直線為x軸，BC中點O為原點建立直角坐標系.

(Ⅰ)求曲線E的方程；

(Ⅱ)是否存在過點D(1，1)的直線L，使L與雙曲線E交于不同的兩點M、N，且=0，如果存在，求出L的方程；如果不存在，說明理由.

Answer 1

答案：(I)如圖,以BC所在直線為x軸。BC中點O為原點,設

∠BAC=α,∠ACB=β.|AC|=m,|BC|=n.

由

由

設雙曲線方程為則

(Ⅱ)設存在適合條件的直線L,交雙曲線于M(x_l,y₁),N(x₂,y₂)(x_l≠x₂).

由=0.得D為MN中點,

由

∴L方程為9x-4y-5=0.

代入9x²-4y²=36得45x²-90x+169=0.

∵△<0,∴不存在適合條件的直線L.