Question

如圖，在面積為18的△ABC中，AB=5，雙曲線E過點A，

且以B、C為焦點，已知

（Ⅰ）建立適當?shù)淖鴺讼担�求雙曲線E的方程；

（Ⅱ）是否存在過點D（1，1）的直線l，

使l與雙曲線E交于不同的兩點M、N，且

如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）不存在滿足條件的直線l.

解析:

（Ⅰ）以BC所在直線為x軸，線段BC的中點O為原點，線段BC的中垂線為y軸建立坐標系如圖.  設  2分

    則  兩式平方相加，得m=9.   ………2分

又兩式平方相加，得   2分

設雙曲線的方程為     由雙曲線的定義，

有2a=||AC|－|AB||=|m－5|=4，即a=2.    又2c=，即

∴b²=c²－a²=9.     ∴雙曲線E的方程為 ……2分

（Ⅱ）假設存在滿足條件的直線l，使l與雙曲線E交于不同兩點M、N，

并設  由知點D是線段MN的中點，

∴  …………1分    由于點M、N都在雙曲線E上，

∴.    將兩式相減，得

此時直線l的方程為  ……3分

但由∴不存在滿足條件的直線l.  …2分