Question

（本題滿分14分）右圖為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，平面，
，且，（1）求證：BE//平面PDA；
（2）若N為線段的中點，求證：平面；
（3）若，求平面PBE與平面ABCD所成的二面角的大小．

Answer 1

(Ⅰ)見解析   (Ⅱ) 見解析 （Ⅲ）45°--

（1）證明：∵，平面，平面
∴EC//平面,同理可得BC//平面---------------2分
∵EC平面EBC,BC平面EBC且 
∴平面//平面----------3分又∵BE平面EBC  ∴BE//平面PDA---------4分
（2）證法1：連結AC與BD交于點F, 連結NF，
∵F為BD的中點，∴且,-------------6分
又且
∴且
∴四邊形NFCE為平行四邊形-------------------------7分
∴
∵,平面,
面    ∴，
又∴面    ∴面--------------9分
[證法2：如圖以點D為坐標原點，以AD所在的直線為x軸建立空間直角坐標系如圖示：設該簡單組合體的底面邊長為1，
則
,--------------------------------6分
∴,,
∵,
∴-------------8分∵、面，且
∴面------9分
（3）解法1：連結DN，由（2）知面 ∴, ∵，
∴ ∴∴為平面PBE的法向量，設，則 
∴=---11分∵為平面ABCD的法向量，， --------12分
設平面PBE與平面ABCD所成的二面角為，則-----------13分
∴ 即平面PBE與平面ABCD所成的二面角為45°---------------------------------14分
[解法2：延長PE與DC的延長線交于點G,連結GB，則GB為平面PBE與ABCD的交線-------10分
∵  ∴
∴D、B、G在以C為圓心、以BC為半徑的圓上，
∴-------------------11分
∵平面,面 
∴且
∴面 ∵面 
∴∴為平面PBE與
平面ABCD所成的二面角的平面角--------13分
在中∵∴＝45°即平面PBE與平面ABCD所成的二面角為45°-14分
其它解法請參照給分