Question

已知P（3，5）為圓x²+y²=10y內一點，則過點P的弦長的范圍是

[8，10]

．

Answer 1

分析：將圓化成標準方程，算出圓心為C（0，5），半徑r=5．根據圓的性質可得經過點P且與CP垂直的弦長最短，經過點P的圓的直徑為最長的弦．由此利用兩點間的距離公式與垂徑定理加以計算，可得弦長的取值范圍．

解答：解：將圓x²+y²=10y化成標準方程，得x²+（y-5）²=25．
∴圓心為C（0，5），半徑r=5．
由兩點的距離公式，算出P、C兩點的距離為|PC|=

(0-3)2+(5-5)2

=3．
由圓的性質，可得當經過點P的弦與CP垂直時，截得的弦長最短，
設最短的弦長為l，
根據垂徑定理得l=2

r2-|PC|2

=2

25-9

=8，
又∵過點P的最長的弦是直徑，得最長的弦長為2r=10，
∴過點P的弦長的取值范圍是[8，10]．
故答案為：[8，10]

點評：本題給出點P為圓內部一個定點，求經過點P的直線被圓截得弦長的取值范圍．著重考查了圓的標準方程、圓的性質、直線與圓和點與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．