Question

已知函數f（x）=-1+log_a（x+2）（a＞0，且a≠1），g（x）=(

1

2

)x-1．
（1）函數y=f（x）的圖象恒過定點A，求A點坐標；
（2）若函數F（x）=f（x）-g（x）的圖象過點（2，

1

2

），證明：方程F（x）=0在x∈（1，2）上有唯一解．

Answer 1

分析：（1）由log_a1=0可得y=f（x）的圖象恒過定點A的坐標；
（2）將點（2，

1

2

）代入F（x）的解析式，求出a，利用根的存在性定理和函數的單調性證明即可．

解答：解：（1）由log_a1=0可得f（-1）=-1+log_a1=-1，故A（-1，-1）
（2）∵F(x)=-1+loga(x+2)-(

1

2

)x-1過(2，

1

2

)
∴a=2
∴F(x)=-1+log2(x+2)-(

1

2

)x-1
∵y=log2(x+2)，y=(

1

2

)x-1分別為（-2，+∞）上的增函數和減函數
∴F（x）為（-2，+∞）上的增函數
∴F（x）在（-2，+∞）上至多有一個零點
又（1，2）?（-2，+∞）
∴F（x）在（1，2）上至多有一個零點
而F(2)=-1+2-(

1

2

)+1=

1

2

＞0F(1)=-1+log23-(

1

2

)0=log23-2＜0
∴F（x）=0在（1，2）上有唯一解

點評：本題考查對數函數的性質、函數圖象的交點問題、根的存在性定理等知識．