Question

函數(shù)y=2cos2x+4cosx-1（-

2π

3

≤x≤

π

2

）的值域是

[-4，5]

．

Answer 1

分析：可得y=（2cosx+1）²-4，令t=cosx，可得y=（2t+1）²-4，由關(guān)于t的二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答：解：由二倍角的余弦公式可得y=2（2cos²x-1）+4cosx-1
=4cos²x+4cosx-3=（2cosx+1）²-4，
∵-

2π

3

≤x≤

π

2

，∴t=cosx∈[-1，1]，
故原函數(shù)可化為y=（2t+1）²-4，
函數(shù)為開口向上，對(duì)稱軸為t=-

1

2

的拋物線一段，
故函數(shù)在[-1，-

1

2

]單調(diào)遞減，在[-

1

2

，1]單調(diào)遞增，
故當(dāng)t=-

1

2

時(shí)，函數(shù)取最小值y_min=-4，
當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)取最大值y_max=5
故函數(shù)的值域?yàn)閇-4，5]
故答案為：[-4，5]

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值，利用二倍角的余弦公式化為關(guān)于t的二次函數(shù)的區(qū)間最值是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．