Question

設關于x的函數y=2cos²x-2acosx-（2a+1）的最小值為f（a），試確定滿足f(a)=

1

2

的a的值，并對此時的a值求y的最大值．

Answer 1

分析：先令cosx=t，轉化為關于t的一元二次函數；通過討論對稱軸和去件的位置關系找到最小值f（a）；再結合f(a)=

1

2

即可求出a的值并求出y的最大值．

解答：解：令cosx=t，t∈[-1，1]，
則y=2t²-2at-（2a+1），對稱軸t=

a

2

，
當

a

2

＜-1，即a＜-2時，[-1，1]是函數y的遞增區間，ymin=1≠

1

2

；
當

a

2

＞1，即a＞2時，[-1，1]是函數y的遞減區間，ymin=-4a+1=

1

2

，
得a=

1

8

，與a＞2矛盾；
當-1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2時，ymin=-

a2

2

-2a-1=

1

2

，a2+4a+3=0
得a=-1，或a=-3，
∴a=-1，
此時y_max=-4a+1=5．

點評：本題主要考查二次函數在閉區間上的最值討論問題．解決問題的關鍵在于討論對稱軸和區間的位置關系．