Question

已知函數y=2cos²x-2acosx-（2a+1）
（1）求函數的最小值f（a）
（2）試確定滿足f(a)=

1

2

的a的值
（3）當a取（2）中的值時，求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）令cosx=t，t∈[-1，1]，則y=2t²-2at-（2a+1），再進行分類討論；
（2）由（1）知，分兩種情況討論：-4a+1=

1

2

或-

a2

2

-2a-1=

1

2

，應注意a的范圍；（3）當a=-1時，y=2t2+2t+1=2(t+

1

2

)2+

1

2

，故可求．

解答：解：（1）令cosx=t，t∈[-1，1]，則y=2t²-2at-（2a+1），對稱軸t=

a

2

…（2分）
當

a

2

＜-1，即a＜-2時，[-1，1]是函數y的遞增區間，y_min=1
當

a

2

＞1，即a＞2時，[-1，1]是函數y的遞減區間，y_min=-4a+1
當-1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2時，ymin=-

a2

2

-2a-1…（6分）
（2）當-4a+1=

1

2

，得a=

1

8

，與a＞2矛盾；
當-

a2

2

-2a-1=

1

2

得a=-1，或a=-3，∴a=-1，
綜上，a=-1…（10分）
（3）當a=-1時，y=2t2+2t+1=2(t+

1

2

)2+

1

2

因為t∈[-1，1]
所以，當t=1時，y取最大值，y_max=5 …12分）

點評：本題主要考查二次函數的最值，應注意把握區間與對稱軸之間的關系，做好分類討論．