Question

【題目】如圖，已知圓柱，底面半徑為1，高為2，是圓柱的一個(gè)軸截面，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面到達(dá)點(diǎn)，其路徑最短時(shí)在側(cè)面留下的曲線記為：將軸截面繞著軸，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 角到位置，邊與曲線相交于點(diǎn).

（1）當(dāng)時(shí)，求證：直線平面；

（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）法一：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求得平面的法向量，可得結(jié)論；

法二：由已知條件推導(dǎo)出AB⊥A1B1，AB⊥OO1，得到AB⊥平面A1B1C1D1，可得AB⊥B1D1，結(jié)合OP⊥B1D1由此能證明直線B1D1⊥平面PAB．

（2）以所在直線為軸，過點(diǎn)與垂直的直線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得兩個(gè)面的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣AB﹣P的余弦值．

（1）方法一：當(dāng)時(shí)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則有，，，，

，

，.

設(shè)平面的法向量為，則，

可取，得，，.

所以直線平面.

方法二：在正方形中，，，∴，

平面，又平面

所以，又，，，平面

所以直線平面.

（2）當(dāng)時(shí)，以所在直線為軸，過點(diǎn)與垂直的直線為軸，所在的直線為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

可得，所以，

設(shè)平面的法向量為，則

，可取，得，

又平面的一個(gè)法向量為，則

所以二面角的余弦值為.