Question

求證：函數f(x)=

2

x

-x在區間（0，+∞）上單調遞減．

Answer 1

分析：利用單調性的定義來證明函數是一個單調函數，先設出任意兩個正數變量，表明它們的大小關系，對兩個變量對應的函數值做差，合并同類項，通分整理，最終形式是變化為因式的積或商的形式，這樣就可以根據條件判斷差和零的關系，得到結論．

解答：證明：任取0＜x₁＜x₂，
有f(x1)-f(x2)=

2

x1

-x1-(

2

x2

-x2)=(

2

x1

-

2

x2

)-(x1-x2)=

2(x2-x1)

x1x2

-(x1-x2)=(x2-x1)•(

2

x1x2

+1)
因為0＜x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，

2

x1x2

+1＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0
所以，函數f(x)=

2

x

-x在區間（0，+∞）上單調遞減．

點評：本題考查函數單調性的證明，考查對于代數式的整理，是一個基礎題，這種題目經常考到，可以作為一個解答題目的一問出現，這種題目的證法一般只有兩種，一是用定義，二是用導數．