Question

求證：函數f(x)=x+

1

x

在區間 （0，1）上是減函數，并指出f（x）在區間（-1，0）上的單調性（不必證明）．

Answer 1

分析：設 0＜x₁＜x₂＜1，計算f（x₁ ）-f（x₂）=（x₁-x₂）（1-

1

x1•x2

）＞0，可得f（x₁ ）＞f（x₂），可得函數 f（x）在（0，1）上是減函數．同理可證，函數f（x）在（-1，0）上是減函數．

解答：解：設 0＜x₁＜x₂＜1，則有f（x₁ ）-f（x₂）=（x₁+

1

x1

）-（x₂+

1

x2

）=（x₁-x₂）+

x2-x1

x1•x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1•x2

）．
由題設可得 （x₁-x₂）＜0，1-

1

x1•x2

＜0，
∴f（x₁ ）-f（x₂）＞0，即f（x₁ ）＞f（x₂）．
函數 f（x）在（0，1）上是減函數．
同理可證，函數f（x）在（-1，0）上是減函數．

點評：本題主要考查函數的單調性的判斷和證明，屬于基礎題．