Question

（1）求證：函數f(x)=

x+3

x+1

在區間（-1，+∞）上是單調減函數；
（2）寫出函數f(x)=

x+1

x+3

的單調區間；
（3）討論函數f(x)=

x+a

x+2

在區間（-2，+∞）上的單調性．

Answer 1

分析：（1）任取x₁＞x₂＞-1，再對兩個函數值作差，通分后進行整理化簡，再根據兩個自變量的關系判斷符號，然后再定號和下結論；
（2）用分離常數法對解析式進行變形，求出函數的定義域后，再求出函數的單調區間；
（3）用分離常數法對解析式進行變形，分a＞2、a=2和a＜2三種情況，判斷在區間上的單調性．

解答：（1）證明：任取x₁＞x₂＞-1，則f（x₁）-f（x₂）=

x1+3

x1+1

-

x2+3

x2+1

=

(x1+3)(x2+1)-(x2+3)(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

2(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

∵x₁＞x₂＞-1，∴x₁+1＞0，x₂+1＞0；x₂-x₁＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數f(x)=

x+3

x+1

在區間（-1，+∞）上是單調減函數．
解：（2）f(x)=

x+1

x+3

=1-

2

x+3

，
∴函數的定義域是（-∞，-3）∪（-3，+∞），
則函數的單調增區間（-∞，-3），（-3，+∞）．
（3）f(x)=

x+a

x+2

=1+

a-2

x+2

，
當a＞2時，此函數在區間（-2，+∞）上單調遞減，
當a=2時，無單調性；當a＜2時，此函數在區間（-2，+∞）上單調遞增．

點評：本題的考點是函數單調性判斷及證明，考查了用定義法證明單調性的步驟：取值-作差-變形-判斷符號-下結論，判斷分式函數的單調性時常用分離常數法對解析式變形，求出定義域后再判斷函數的單調性．