Question

已知f（x）=2ln（x+a）-x²-x在x=0處取得極值．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）+b=0在區間[-1，1]上恰有兩個不同的實數根，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用函數在在x=0處取得極值，得到f'（0）=0，可求a．
（Ⅱ）構造函數g（x）=f（x）+b=2ln（x+2）-x²-x+b，利用導數研究函數的最大值和最小值．
解答：解：（Ⅰ），當x=0時，f（x）取得極值，
∴f'（x）=0，解得a=2，檢驗a=2符合題意．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+b=2ln（x+2）-x²-x+b，則 ，
當x∈（-2，0）時，g'（x）＞0，∴g（x）在（-2，0）上單調遞增；
當x∈（0，+∞）時，g'（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）上單調遞減，
要使f（x）+b=0在區間[-1，1]上恰有兩個不同的實數根，
只需，
∴-2ln2＜b≤2-2ln3．
點評：本題主要考查導數和函數的極值和最值之間的關系，綜合性較強．