Question

已知f（x）=2ln（x+a）-x²-x在x=0處取得極值．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）+b=0在區(qū)間[-1，1]上恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)=

2

x+a

-2x-1，當x=0時，f（x）取得極值，
∴f'（x）=0，解得a=2，檢驗a=2符合題意．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+b=2ln（x+2）-x²-x+b，則 g′(x)=

2

x+2

-2x-1(x＞-2)，
當x∈（-2，0）時，g'（x）＞0，∴g（x）在（-2，0）上單調(diào)遞增；
當x∈（0，+∞）時，g'（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
要使f（x）+b=0在區(qū)間[-1，1]上恰有兩個不同的實數(shù)根，
只需

g(-1)≤0 g(0)＞0 g(1)≤0

即

b≤0 2ln2+b＞0 2ln3-2+b≤0

，
∴-2ln2＜b≤2-2ln3．