Question

拋物線y²=4px（p＞0）的準線與x軸交于M點，過點M作直線l交拋物線于A、B兩點．
（1）若線段AB的垂直平分線交x軸于N（x，0），求證：x＞3p；
（2）若直線l的斜率依次為p，p²，p³，…，線段AB的垂直平分線與x軸的交點依次為N₁，N₂，N₃，…，當0＜p＜1時，求++…+的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設直線l方程為y=k（x+p），與拋物線方程聯立消去y，根據判別大于0可求得k²的范圍，令A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），根據韋達定理求得x₁+x₂和y₁+y₂進而得到AB中點坐標，AB垂直平分線的方程可得，令y=0，得x==p+．根據k的范圍進而證明原式．
（2）根據l的斜率依次為p，p²，p³時，AB中垂線與x軸交點依次為N₁，N₂，N₃，（0＜p＜1）可得點N_n的坐標，根據|N_nN_n+1|的表達式，進而可得答案．
解答：（1）證明：設直線l方程為y=k（x+p），代入y²=4px．
得k²x²+（2k²p-4p）x+k²p²=0．
△=4（k²p-2p）²-4k²•k²p²＞0，
得0＜k²＜1．
令A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，y₁+y₂=k（x₁+x₂+2p）=，
AB中點坐標為（，）．
AB垂直平分線為y-=-（x-）．
令y=0，得x==p+．
由上可知0＜k²＜1，∴x＞p+2p=3p．
∴x＞3p．
（2）解：∵l的斜率依次為p，p²，p³，時，AB中垂線與x軸交點依次為N₁，N₂，N₃，（0＜p＜1）．
∴點N_n的坐標為（p+，0）．
|N_nN_n+1|=|（p+）-（p+）|=，=，
所求的值為[p³+p⁴++p²¹]=．
點評：本題主要考查了拋物線的應用，并綜合考查了直線與拋物線的關系．