Question

已知拋物線y²=4px（p＞0），弦AB過焦點F，設|AB|=m，三角形AOB的面積為S，則S²=

mp³

（用含有m，p的式子表示）．

Answer 1

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB所在直線的方程為y=k（x-p），與拋物線y²=4px聯解，并結合一元二次方程根與系數的關系，得y₁y₂=-4p²．根據拋物線的定義，得|AB|=x₁+x₂+2p=m，結合拋物線方程化出y₁²+y₂²=4mp-8p²，可得|y₁-y₂|=

4mp

．最后根據三角形面積公式，得S=

1

2

|OF|•|y₁-y₂|=

1

2

p

4mp

，進而得到本題的答案．

解答：解：∵拋物線y²=4px的焦點為F（p，0）
∴設弦AB所在直線的方程為y=k（x-p），（k≠0）
與拋物線y²=4px聯解，得ky²-4py-4kp²=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根與系數的關系得y₁y₂=-4p²．
根據拋物線的定義，得|AB|=x₁+x₂+2p=m
∴x₁+x₂=

1

4p

y₁²+

1

4p

y₂²=m-2p，得y₁²+y₂²=4p（m-2p）=4mp-8p²．
由此可得|y₁-y₂|²=（y₁²+y₂²）-2y₁y₂=4mp-8p²-（-8p²）=4mp
∴S_△AOB=S_△AOF+S_△BOF=

1

2

|OF|•|y₁-y₂|=

1

2

p

4mp

因此，可得S²_△AOB=

1

4

p²•4mp=mp³，即S²=mp³
故答案為：mp³

點評：本題給出拋物線過焦點的弦AB的長度，求△AOB面積的表達式，著重考查了拋物線的簡單性質和直線與拋物線關系等知識，屬于中檔題．