Question

如圖，設點A和B為拋物線y²=4px（p＞0）上原點以外的兩個動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB．求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線．

Answer 1

分析：由OA⊥OB可得A、B兩點的橫坐標之積和縱坐標之積均為定值，由OM⊥AB可用斜率處理，得到M的坐標和A、B坐標的聯系，再注意到M在AB上，由以上關系即可得到M點的軌跡方程；此題還可以考慮設出直線AB的方程解決．

解答：解：如圖，點A，B在拋物線y²=4px上，
設A(

y2A

4p

，yA)，B(

y2B

4p

，yB)，OA、OB的斜率分別為k_OA、k_OB．
∴kOA=

yA

y2A 4p

=

4p

yA

，kOB=

4p

yB

由OA⊥AB，得kOA•kOB=

16p2

yAyB

=-1①
依點A在AB上，得直線AB方程
(yA+yB)(y-yA)=4p(x-

y2A

4p

)②
由OM⊥AB，得直線OM方程y=

yA+yB

-4p

x③
設點M（x，y），則x，y滿足②、③兩式，將②式兩邊同時乘以-

x

4p

，
并利用③式整理得

x

4p

y2A+yyA-(x2+y2)=0④
由③、④兩式得
-

x

4p

yAyB-(x2+y2)=0
由①式知，y_Ay_B=-16p²
∴x²+y²-4px=0
因為A、B是原點以外的兩點，所以x＞0
所以M的軌跡是以（2p，0）為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點．

點評：本小題主要考查直線、拋物線的基礎知識，考查由動點求軌跡方程的基本方法以及方程化簡的基本技能．