Question

如圖，設點A和B為拋物線y²=4px(p＞0)上原點以外的兩個動點，已知OA⊥OB,OM⊥AB，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.

Answer 1

思路解析：OA⊥OB即·=0；OM⊥AB即·=0直接應用坐標運算即可.

解：設A（,y₁）,B(,y₂),M(x,y).

=(,y₁),=(,y₂),=(x,y),

=(,y₂-y₁),=(x-,y-y₁).

∵OA⊥OB,∴·=0，即·+y₁y₂=0.∴y₁y₂=-16p².             ①

又∵⊥,∴·=0,即x+(y₂-y₁)y=0,

化簡得x+y=0.                                                                               ②

又∵AM∥AB,∴(x-)(y₂-y₁)-( -)(y-y₁)=0,

即x-·y+=0.把①、②代入整理得

x²+y²-4px=0,∵A、B是異于原點的點，∴x≠0.

∴點M的軌跡方程為x²+y²-4px=0(x≠0),它表示以（2p,0）為圓心，以2p為半徑的圓（除去原點）.